Barisan geometri

1. BARISAN GEOMETRI
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   Rasio r = U_n / U_n-1
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
2. DERET GEOMETRI
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku 
      U_n > U_n-1
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n < U_n-1
      Bergantian naik turun, jika r < 0
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.   
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1 
   dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r² 
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀      = (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awalM_n = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Aritmatika

1. BARISAN ARITMATIKA
   
   U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
   U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
   
   Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1 
   
   Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                         U₁, U₂,   U₃ ............., U_n
   
   Rumus Suku ke-n :
   
   U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
   
2. DERET ARITMATIKA
   a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
   a = suku awal
   b = beda
   n = banyak suku
   U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
   Jumlah n suku
   
   Sn = 1/2 n(a+U_n)
         = 1/2 n[2a+(n-1)b]
         = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
   Keterangan:
   
   
   1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
      
   2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
      
   3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
      
   4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      
      U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
      
   5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

Rangkuman matematika

I.      OPERASI BILANGAN REAL

A.    Pangkat (Eksponen)

        1.     

        2.     

        3.     

        4.     

        5.     

        6.     

        7.     

        8.     

B.     Bentuk Akar

        1.     

        2.     

        3.     

        4.     

        5.     

        Merasionalkan Penyebut Bentuk Pecahan

        1.     

        2.     

C.    Logaritma

        1.        

        2.     

        3.     

                              

                              

                              

        4.     

        5.     

        6.     

        7.     

        8.     

II.    PERSAMAAN  LINEAR , PERTIDAKSAMAAN LINIER, FUNGSI LINIER

A.    Persamaan Linier

        1.     Persamaan Linear Satu Variabel ,

        2.     Persamaan Linear Dua Variabel , 

                Dengan metode grafik, eliminasi, subtitusi, eliminasi-subtitusi,

3.        Persamaan Linear Tiga Variabel 

B.       Pertidaksamaan Linier

Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan kemudian sederhanakan.

C.       Fungsi Linier

               

III.   PERSAMAAN KUADRAT, PERTIDAKSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT

A.    Persamaan Kuadrat 

        1.     Memfaktorkan  diuraikan menjadi 

        2.     Rumus ABC: 

        3.     Melengkapi Kuadrat Sempurna 

        4.     Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat (ditentukan oleh nilai deskriminan  

-         D > 0, mempunyai dua akar berlainan

-         D = 0, mempunyai dua akar sama

-         D < 0, mempunyai dua akar imaginer/tidak nyata

        5.     a.     

                b.     

                c.     

                d.     

                e.     

        6.     Menyusun persamaan kuadrat

        

                              

B.    Fungsi Kuadrat

        1.     Sumbu simetri 

        2.     Puncak 

        3.     a > 0 grafik terbuka ke atas

                b < 0 grafik terbuka ke bawah

C.    Fungsi Komposisi

        Jika diketahui  fungsi f(x) dan g(x) maka

        

D.      Fungsi Invers

        

        a.     

                Contoh: 

        b.     

                Contoh:   

        c.      dengan 

                Contoh:   

        d.     

        e.     

IV.     PROGRAM LINEAR

A.    Persamaan Linear

1.     Persamaan garis dengan gradien m dan melalui  

2.     Persamaan garis melalui dua titik  dan 

3.     Garis membagi bidang menjadi 2 bagian

                

VI.   TRIGONOMETRI

                                                a.  

                            b. 

                              c.   

                                                                                 d.  

                                                                                 e.   

Tanda Sinus, Cosinus dan Tangen Sudut di berbagai kuadran

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Hubungan Fungsi Trigonometri dan Sudut

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

                                                                               

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan (Sudut rangkap)

        a.     

        b.     

        c.     

        d.     

        e.     

        f.                                                                                                                 

        g.     

        h.     

        i.      

        j.      

Koordinat kutub  menjadi koordinat cartesius 

Koordinat cartesius menjadi koordinat kutub

Aturan Trigonometri

Aturan Sinus :      

Aturan Cosinus :  

Luas Segitiga Sembarang

                               

                                

VII.  PELUANG

A.    Permutasi 

§          Permutasi dengan beberapa unsur yang sama 

        n              =      banyak unsur

        a dan b     =      banyaknya unsur-unsur yang sama.

        Contoh:   Berapa banyak susunan huruf yang berbeda pada satu baris yang dibentuk dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS”

        Jawab:     Terdiri atas 8 huruf,maka n = 8. Huruf yang sama yaitu: K = 2, L = 2, dan U = 2

                        Maka banyaknya permutasi= 

§          Permutasi Siklis 

        n      =      banyaknya unsur

        Contoh:   Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda?

        Jawab:     

                                      

B.    Kombinasi   

        Contoh:   Dari 8 pelajar akan dipilih 5 pelajar untuk mengikuti pelajar teladan. Berapa banyak  cara memilih pelajar tersebut?

        Jawab:     banyaknya kombinasi 5 dari 8 siswa =

C.    Peluang Suatu Kejadian 

Peluang A = 

·    Peluang kejadian yang saling berkomplemen 

            Contoh:   Peluang Andi masuk di PTN adalah 0,3. Berapa peluang Andi gagal masuk PTN.

            Jawab: A= kejadian Andi masuk di PTN = P(A)=0,3

                            A’= kejadian Andi gagal masuk PTN = P(B)

                            Jadi P(A) = 1-P(A) = 1-0,3=0,7

·    Peluang Dua Kejadian yang saling Lepas (Saling Asing) Secara Umum Untuk Setiap Kejadian A dan B

            

    Untuk kejadian A dan B yang saling lepas maka 

            Jadi jika A dan B saling lepas maka 

·    Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas (jika kejadian A dan B tuidak saling mempengaruhi)

            

VIII.    STATISTIKA

A.    Ukuran Pemusatan Data

1.     Rata-Rata (Mean)

        

            =      rata-rata, dibaca “x bar”

        n      =      banyaknya data

           =      nilai data ke-I (I = 1,2,3,…,n)

        Rata-Rata  Gabungan 

2.     Median (Me) = nilai tengah

·    Median 

·    Median 

·    Median 

3.     Modus (Mo) = datum yang sering muncul 

        L      =      tepi bawah kelas

          =      selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

         =      selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

        p      =      interval (lebar/panjang kelas)

4.     Kuartil (Q) 

·    Data Tunggal letak 

      =      kuartil ke-i;  n = banyaknya data;  i = 1,2,3

        

L      =      tepi bawah kelas

fk     =      frekuensi kumulatif sebelum kuartil ke-i

f       =      frekuensi kelas kuartil ke-i

p      =      interval (lebar/panjang kelas)

B.    Ukuran Penyebaran Data

1.     Jangkauan (range) = selisih antara datum terbesar dengan datum terkecil

        

2.     Jangkauan Antar Kuartil 

3.     Jangkauan Semi Kuartil (Simpangan Kuartil) 

4.     Simpangan Rata-Rata  atau 

        = datum ke-I;  = rata-rata;  n = banyak datum;   = frekuensi kelas ke-i

5.        Ragam (Variasi)  atau 

6.        Simpangan Baku (Standar Deviasi)  atau 

IX.   LIMIT FUNGSI

A.    Limit Fungsi Aljabar

1.     Limit Fungsi ditulis 

        Cara:    Subtitusi langsung (dihasilkan bentuk tak tentu ), pemfaktoran , dan rasionalisasi bentuk akar

    Contoh:                    

                                                            

2.     Limit Fungsi ditulis 

        Contoh:   

3.     Limit Fungsi  ditulis ({Pembilang, Penyebut dibagi Pangkat Tertinggi)

 m dan n merupakan pangkat tertinggi dari

                                                pembilang dan penyebut.

        Kemungkinan:   

B.    Limit Fungsi Trigonometri

        Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri:

        1.     

        2.     

        Dari rumus-rumus di atas diperoleh rumus lain, yaitu:

        1.                

               

        2.     

        3.     

Rumus-rumus yang sering digunakan untuk merubah fungsi pada limit fungsi trigonometri adalah:

        

X.    TURUNAN FUNGSI 

A.Turunan Aljabar

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

Contoh:   Turunan pertama dari adalah 

            Turunan pertama dari adalah misal:

                

B.    Turunan Fungsi Aljabar

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

Contoh:   Turunan pertama fungsi  adalah

                misal: 

                

C.    Persamaan Garis Singgung Pada Kurva

Persamaan garis melalui titik  terletak pada kurva  adalah 

Dengan gradien 

1.     Dua Garis sejajar 

2.     Dua Garis Tegak Lurus 

D.    Fungsi Naik dan Fungsi Turun

1.     Suatu fungsi f(x) akan naik jika f(x) > 0

2.     Suatu fungsi f(x) akan naik jika f(x) < 0

XI.   INTEGRAL

A.    Integral tak Tentu 

Sifat-Sifat Integral Tak Tentu:

1.     

2.     

3.     

Aturan Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

1.     

2.     

3.     

4.     

Aturan Integral tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10.   

11.   

12.   

B.    Integral Tertentu 

C.    Pengintegralan dengan Metode Subtitusi

1.     Integral Tak Tentu 

        Contoh:   

        Jawab:     misal:

                        

2.     Integral Tertentu 

D.    Pengintegralan dengan Metode Parsial

1.     Integral Tak Tentu 

2.     Integral Tertentu 

E.     Penggunaan Integral Tertentu untuk Menghitung Luas Daerah

1.     Luas daerah yang dibatasi Kurva dan Sumbu X

Luas Daerah yang dibatasi Dua Kurva = 

Volum Benda Putar dari Daerah yang Mengelilingi Sumbu X

 atau 

Volum Benda Putar dari Daerah yang Mengelilingi Sumbu Y

 atau